Đề Dự bị môn Toán K-B năm 2010


Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi TS 2011.

Lời giải Câu V( dự bị 1- KB 2010) Thầy giải thế này( chắc chưa phải cách ngắn nhất)
ĐK: \left\{ \begin{array}{l}  {x^2} + {y^2} - {z^2} \ge 0,{y^2} + {z^2} - {x^2} \ge 0,{z^2} + {x^2} - {y^2} \ge 0\\  xy \ge 0,yz \ge 0,zx \ge 0  \end{array} \right.
+ Nếu một trong 3 số x, y, z bằng 0, chẳng hạn x = 0 thi từ ĐK suy ra: {y^2} = {z^2}
Từ phương trình đầu của hệ suy ra được \sqrt {{y^2} + {z^2}} = y + z \Rightarrow yz = 0 \Rightarrow y = z = 0
(không t/m)
+ Suy ra xyz \ne 0 \Rightarrow xy > 0,yz > 0,zx > 0, suy ra x, y, z cùng âm hoặc cùng dương.
Từ PT đầu của hệ suy ra: x > 0,y > 0,z > 0
Ta có {x^2} + {y^2} \ge {z^2} \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge {z^2} + 2xy > {z^2} \Rightarrow x + y > z
Tương tự: y + z > x,z + x > y
Suy ra x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác . Giả sử tam giác ABC có BC =x, CA=y, AB = z.
Áp dụng ĐL cosin:
\begin{array}{l}  \sqrt {{x^2} + {y^2} - {z^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2} - {x^2}} + \sqrt {{z^2} + {x^2} - {y^2}} \\  = \sqrt {2xy\cos C} + \sqrt {2yz\cos A} + \sqrt {2zx\cos B} \\  \le \sqrt {(2xy + 2yz + 2zx)(\cos A + \cos B + \cos C)} \\  \le \sqrt {\frac{2}{3}{{(x + y + z)}^2}.\frac{3}{2}} = x + y + z  \end{array}
(Theo BĐT Bunhiacopxki, 2xy + 2yz + 2zx \le \frac{2}{3}{(x + y + z)^2};\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2})
Dấu bằng có khi x =y = z. Thế vào PT thứ hai của hệ. Done!!!

4 phản hồi

  1. Em cám ơn thầy nhiều nhiều!

  2. Thầy ơi, câu V đề dự bị 2010B1, em nghĩ dừng bất đẳng thức để thiết lập x = y = z nhưng đánh giá mãi không được. Thầy có thể cho em bết hướng đó đúng không và hướng giải thực sự của câu này rav sao được không? Em cám ơn thây nhiều.

  3. Cám ơn thầy. Em cũng vừa giải được câu này bằng cách khác, xin phép trình bày luôn nhe thầy. Em không biết gõ công thức toán như thầy nên gõ đại, thầy thông cảm: x^2 =2 [ (x^2 + y^2 – z^2) + (x^2 + y^2 -z^2) ]/4 & dùng như thầy 2(A^2 + B^2) >= (A+B)^2 => x >= [(Căn (x^2 + y^2 – z^2) + Căn(x^2 + y^2 -z^2)]/2 . Tương tự, cộng vế => (1) x = y = z.

  4. em thua thay cau 6b du bi 1 kB ay a😐
    em thấy đề cho dữ kiện cho 4 đỉnh hv đường tròn ko biết dùng làm j ạ
    theo em cho r (C) => độ dài AB => r (K) (pitago liên tục) có đúng k ạ

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: