Giải đáp toán học THPT

images

Học sinh có thể đưa những câu hỏi cần giải đáp về Toán học THPT lên trang này

images12

37 phản hồi

  1. Thầy ơi cho em hỏi về lời giải 1 bài BĐT (ko bik gõ latex)
    Đề bài: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. CM:
    1/a+1/b+1/c+9/(a+b+c) >=4[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(b+c)]
    Lời giải: Vì BĐT cần cm là thuần nhất nên ta có thể giả
    sử a+b+c=1mà không làm mất tính tổng quát
    của bài toán.
    Khi đó bđt trở thành:
    1/a+1/b+1/c+9>= 4[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(b+c)]
    ………….
    phần sau có thể dễ dàng giải tiếp.
    Nhưng, liệu tác giả bt giả sử a+b+c=1 như vậy mà ”không làm mất tính tổng quát của bài toán” sao ạ?

    • Hôm nay thầy mới đọc đến chỗ này
      Hàm số f(x,y,z...) với x,y,z,...
      là các biến số thực gọi là Hàm thuần nhất bậc \alpha
      nếu với mọi t ta có f(tx,ty,tz...) = {t^\alpha }f(x,y,z...)
      Khi đó BĐT f(x,y,z...) \ge 0 gọi là BĐT thuần nhất bậc \alpha

      Khi đó có thể dùng cách chuẩn hoá là giả sử x + y + z +… = 1(nếu x, y , z,… không đồng thời bằng 0)
      Vì nếu x + y + z +… = k khác 0 thì thay x bởi x' = \frac{x}{k}, y bởi y' = \frac{y}{k}
      ,… thì ta có BĐT của các biến x’, y’, z’ ,… mà x’ + y’ + z’ = …=1.
      Câu trả lời là cách giải đó là đúng

  2. Các em xem cách đánh công thức bằng Mathtype trong mục Discuss, nó dễ hơn đánh trực tiếp bằng Latex nhiều. Download mathtype ở Trang STUDY / MATHTYPE for typing math formula on WordPress nhé

  3. Câu V: ( Đề thi ĐH khối A – 2009)

    Đặt a = x+ y, b= y+ z, c= z+ x ta được:
    .\begin{array}{l}  x(x + y + z) = 3yz \\    \Leftrightarrow (a + b + c)(a + c - b) = 3(a + b - c)(b + c - a) \\    \Leftrightarrow {(a + c)^2} + 3{(a - c)^2} = 4{b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - ac = {b^2} \\    \Leftrightarrow ac = {b^2} - {(a - c)^2} \le {b^2} \\   \end{array}

    ĐPCM \Leftrightarrow {a^3} + {c^3} + 3abc \le 5{b^3} \Leftrightarrow (a + c)({a^2} - ac + {c^2}) + 3abc \le 5{b^3}

    \Leftrightarrow (a + c){b^2} + 3abc \le 5{b^3} \Leftrightarrow ab + bc + 3ac \le 5{b^2}

    Ta có : ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2};\,\,bc \le \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2};\,ac \le {b^2}

    Suy ra: ab + bc + 3ac \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + 3ac = {b^2} + \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} + 3ac

    = {b^2} + \frac{{{b^2} + ac}}{2} + 3ac = \frac{{3{b^2} + 7ac}}{2} \le \frac{{3{b^2} + 7{b^2}}}{2} = 5{b^2}

    (ĐPCM)

  4. HD:
    Câu I: 2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x hoặc y = -x
    CâuII: 1.PT \Leftrightarrow \cos x - \sin 2x = \sqrt 3 (\cos 2x + \sin x)

    \begin{array}{l}   \Leftrightarrow \cos x - \sqrt 3 \sin x = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x \\    \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) \\   \end{array}

    2. Đặt a = \sqrt[3]{{3x - 2}};\,\,b = \sqrt {6 - 5x}  \ge 0
    . Ta có hệ : \left\{ \begin{array}{l}  2a + 3b - 8 = 0\,\,\,(1) \\   5{a^3} + 3{b^2} = 8\,\,\,\,\,\,(2) \\   \end{array} \right.
    .
    Thế (1)vào(2) suy ra a, b
    Câu III: Dùng CT Hạ bậc, tích thành tổng
    Câu IV: ( Tự vẽ hình) dt(ABCD)= 3a2, SI \bot (ABCD)

    Gọi E = AD \cap BC \Rightarrow ED = AD = 2a
    . Kẻ AH \bot BC,\,\,IK \bot BC

    Ta có .AH = \frac{{AE.AB}}{{BE}} = \frac{{4a.2a}}{{2a\sqrt 5 }} = \frac{{4a}}{{\sqrt 5 }}
    .
    \frac{{IK}}{{AH}} = \frac{{EI}}{{EA}} = \frac{3}{4} \Rightarrow IK = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}

    Lại có \angle \left( {(SBC),(ABCD)} \right) = \angle SKI = {60^0}

    \Rightarrow SI = IK.\tan {60^0} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}

    Suy ra VS.ABCD = \frac{1}{3}.3{a^2}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}

  5. em thấy đề đại học này có khả năng phân loại học sinh rõ rệt ;)) có lẽ em sẽ lại bị phân vào loại giỏi mất ;))

  6. Em cảm ơn thầy ạ (về cái chuẩn hoá). Thầy cho em hỏi tiếp 1 câu nữa ạ : Định lý về dồn biến chứng minh sao hở thầy ?
    Trong sách nó bảo dễ dàng chứng minh nên bỏ qua, đọc ức chế quá đi.

    • Cách học tốt nhất là học từ một số VD cụ thể nào đó, chứ không hẳn phải CM ĐL tổng quát ( cái này sau khi đã hiểu VD có thể đọc hiểu và cm)
      Em có thể có thể đưa VD về CM BĐT bằng pp dồn biến để thầy phân tích cho.
      Mà hình như thầy chưa biết em là ai? Từ sau này hs nào hỏi thì nên để tên lại nhé!

  7. Thầy cho em hỏi :Khi xét chiều biến thiên hoặc xét cực trị của hàm số lượng giác mà người ta không nói xét trên tập nào ,VD như tìm cực trị của hàm số: X–CosX +2 thì phải làm thế nào ah.

    • + Hàm số trên có TXĐ là R
      Đạo hàm f'(x)\, = 1 + \sin x \ge 0,\,\,\forall x \in R
      , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm - \frac{\pi }{2} + k2\pi

      ( “ hữu hạn “ ở đây có nghĩa là “ đếm được” hay các điểm trên là rời rạc nhau trên R)
      Suy ra hàm số đồng biến và không có cự trị
      + Còn đối với hàm số lượng giác thuần tuý ( VD: hàm số y = sin2x + cosx + 1)
      thì :
      – để xét tính đơn điệu có thể dùng kiến thức lớp 11 ( dùng đường tròn lượng giác)
      hoặc kiến thức lớp 12 thì phải chỉ ra chu kỳ tuần hoàn và xét hàm số trên một chu kỳ
      – để tìm cực trị thì có thể dùng qui tắc 1 hoặc 2 ( nên dùng qui tắc 2)
      Dùng qui tắc 1 thì phải chỉ ra chu kì tuần hoàn
      Dùng qui tắc 2 thì không cần chỉ ra chu kì tuần hoàn, để xét dấu đạo hàm cấp 2 tại các điểm làm cho f’(x) = 0 ta thường dùng công thức \sin (\alpha  + k\pi ) = {( - 1)^k}sinx,\,\,\,\cos (x + k\pi ) = {( - 1)^k}\cos x

  8. Em convert sang Latex không hiện lên công thức, em phải bỏ 2 dấu móc vuông [, ] và hai gạch chéo \ , \ ở hai đầu câu lệnh. Thầy chỉnh lại ở dưới đây:
    ví dụ như bài cm BĐT Côsi :{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}

    CM: Nếu đặt f({a_1},{a_2},...,{a_n}) = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} - n\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} thì ta có thể dễ dàng cm được f({a_1},{a_2},...,{a_n}) \ge f(\sqrt {{a_1}{a_2}} ,\sqrt {{a_1}{a_2}} ,{a_3},...,{a_n}) và do đó theo định lý dồn biến f({a_1},{a_2},...,{a_n}) \ge f(r,r,...r) = 0 với r = n\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}
    => đpcm

  9. hs nhom 1, on Tháng Bảy 29th, 2009 lúc 11:10 chiều Said: Edit Comment

    thay oi cho em hoi dang bai nay lam nhu the nao ah?:Tinh dien tich hinh fang gioi han boi cac duong:y=lx^2-4x+3l va y=x+3.(de thi nam 2002).mong thay som tra loi jup em.em thanks thay nhjeu:)
    (Lưu ý: Các em đưa câu hỏi phải đúng chỗ và phải viết có dấu nhé)
    Trả lời:
    Cách 1:
    Vẽ đồ thị hai hàm số y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,(C),\,\,\,\,y = x + 3(d)
    trên cùng 1 hệ trục toạ độ Oxy
    y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right| = \left\{ \begin{array}{l}  {x^2} - 4x + 3\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \in ( - \infty ;\,1] \cup [3; + \infty ) \\    - {x^2} + 4x - 3\,\,khi\,\,\,x \in [1;3] \\   \end{array} \right.

    Đường thẳng y = x + 3 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A(0; 3) và B (5; 8), đồ thị (C) cắt Ox tại hai điểm có hoành độ x = 1, x = 3
    Suy ra: Diện tích cần tìm chia làm 3 phần:
    \begin{array}{l}  V = \int\limits_0^1 {\left[ {(x + 3) - ({x^2} - 4x + 3)} \right]} dx +  \,\int\limits_1^3 {\left[ {(x + 3) - ( - {x^2} + 4x - 3)} \right]} dx \\    + \,\int\limits_3^5 {\left[ {(x + 3) - ({x^2} - 4x + 3)} \right]} dx  = \int\limits_0^1 {(5x - {x^2})} dx +  \,\int\limits_1^3 {({x^2} - 3x + 6)} dx \\    + \,\int\limits_3^5 {(5x - {x^2})} dx = (...) \\   \end{array}

    H/stự tính tiếp
    Còn một số cách giải khác, khi nào học đến phần này Thầy sẽ nói rõ
    Chúc các em học tốt!
    Xem hình vẽ ở trang: Các hình vẽ, đồ thị
    Xem link dưới đây:
    https://mrddt.wordpress.com/study/math-for-you/cac-hinh-v%E1%BA%BD-d%E1%BB%93-th%E1%BB%8B/do-thi-ham-so-2/

  10. Xem CM ĐL dồn biến tổng quát , em có thể xem ở Cuốn “sáng tạo BĐT “ của Phạm Kim Hùng ( Cuốn này có bán ở hiệu sách) hoặc “Phương pháp dồn biến “ của Phan Thành Việt ( cuốn này search trên một số diễn đàn toán học đều có cả, nếu em cần thầy sẽ đưa lên Blog). Việc chứng Minh ĐL này đối với hs phổ thông ( không học chuyên) là tương đối khó.( Em có cần giải thích về CM ĐL này thì gặp trực tiếp Thầy)
    Kỹ thuật của PP dồn biến ( hay còn gọi là trộn biến- Mixing Variables) là tìm cách giảm số biến trong 1 BĐT tối đa có thể, sau đôi có thể phải kết hợp với nhiều PP khác như PP hàm số, hàm lồi v..v.. để chứng minh bước tiếp theo. PP này cũng thường kết hợp với cách chuẩn hoá đối với BĐT đồng bậc
    Nhìn chung, nếu là học sinh phổ thông muốn tìm hiểu thêm BĐT này thì trước hết nên học chứng minh bằng PP này đối với các BĐT 3 biến, 4 biến ( trong các trường hợp dấu bằng xảy ra khi: tất cả các biến bằng nhau (gọi là “cực trị đạt được tại tâm”) hoặc có một số các biến bằng nhau (gọi là “cực trị đạt được có tính đối xứng”) hoặc có một biến có giá trị biên (gọi là “cực trị đạt được tại biên”)).
    Thầy lấy cho em một số VD:
    Chứng minh:
    1. Với 3 số thực x, y, z thoả mãn:
    {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9
    thì 2(x + y + z) - xyz \le 10

    2. Với 3 số thực x, y, z không âm thì
    {x^2}(y + z) + {y^2}(z + x) + {z^2}(x + y) \le \frac{1}{4}{(x + y + z)^3}

    3. Với 4 số thực x, y, z, t không âm thì :
    3({x^4} + {y^4} + {z^4} + {t^4}) + 4xyzt \ge {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2}} \right)^2}

  11. Ko biết em viết công thức Mathtype thế này đúng chưa ah!

    latex$\sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x$
    Thầy chỉ cho em với! Thank thầy!

    • Em phải cho từ khoá Latex vào sau dấu $ và giữa từ Latex và ký tự tiếp theo phải có khoảng trắng!
      – Viết:
      $ latex \sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x$
      (Bỏ khoảng trắng giữa $ và từ khoá Latex đi nhé)
      – Được kq:
      \sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x

  12. Thì em đang học trong cuốn “sáng tạo BĐT “ mà, tác giả không cm định lý thầy ạ (trang 212-213), tg bảo có thể áp dụng đl dồn biến tổng quát để cm, nhưng đọc cái tổng quát khó hiểu quá….Để em suy nghĩ tiếp.
    Thầy cho em hỏi cái khác đi ạ,cũng trong đó, trang6, dòng thứ 5 từ dưới lên ạ, cái đó hình như không đúng, phải đổi chiều lại, nếu thế thì bđt không dược cm, vậy phải cm bằng cách nào hở thầy?

  13. Em thưa thầy cho em hỏi cái bài 1.12 trong SBT giải tích lớp 12T1 với
    Nếu em làm là ….
    f\left( x \right) = \sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x
    =1-c{\rm{os}}^2 x + \cos x
    Đặt t = c{\rm{os}}^2 x
    Ta có f\left( t \right) =  - t^2  + t + 1
    Do x \in \left[ {0,\frac{\pi }{3}} \right] nên t \in \left[ {\frac{1}{2},1} \right]
    Xét hàm số f\left( t \right) =  - t^2  + t + 1 trên t \in \left[ {\frac{1}{2},1} \right]
    f'\left( t \right) =  - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}
    Hàm số nghịch biến trên tập \left[ {\frac{1}{2},1} \right]
    \Rightarrow f\left( x \right) nghịch biến trên \left[ {0,\frac{\pi }{3}} \right]
    Điều này mâu thuẫn với yêu cầu đê bài ,em không hiểu em làm sai ở đâu,tìm mãi không thấy ,thầy chỉ cho em với

    Em hỏi luôn thầy bài 1.12 b ,người ta yêu cầu như vậy thì mình phải xét tính tuần hoàn của nó rồi xét nó trên 1 tập ah.Hay là làm thế nào ah!

    • Em làm như vậy là sai rồi!
      Xét hàm số f(x) = {\sin ^2}x + \cos x
      trên \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]

      Đặt t = \cos x \Rightarrow t \in \left[ {\frac{1}{2};\,\,1} \right]
      , ta có hàm số theo biến t: g(t) =  - {t^2} + t + 1

      Ta chứng minh được hàm số g(t) nghịch biến trên \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]

      Nhưng vì hàm số y = cosx nghịch biến trên \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]

      Suy ra f(x) = {\sin ^2}x + \cos x
      đồng biến trên \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]
      (đpcm)
      ( Vì khi x tăng \Rightarrow t = cosx giảm \Rightarrow g(t) tăng, tức f(x) tăng)
      NX: 1. Việc đặt biến mới ( như trên) thường dùng với các bài toán tìm GTLN, GTNN, về tính đơn điệu của hàm số nhìn chung không nên giải theo hướng đó.
      2. Câu 1.12b đã cho trên \left[ {0;\pi } \right]
      còn nói đến chu kỳ tuần hoàn gì nữa!!??
      Em xem hướng dẫn giải trong Sách BT luôn nhé. Có gì thắc mắc trong đó thì hỏi Thầy!!! chúc em học tốt.

  14. Em thưa thầy cho em hỏi bài 36 SGK giải tích lớp 12 T1
    Cách trình bày của nó như thế nào ah..?..
    Hầu hết chỉ có đường TCX nhưng tự dưng khi làm bài lại nói luôn là ta có:….
    a=Lim……
    b=Lim……
    luôn ah.Thế còn mấy đường tiệm cận kia ta biết là không có rồi thì có phải đưa vào kô ah.
    Nếu đề bài cho là đường tìm TC nào thì tốt ,đằng nay họ lại bắt tìm đường các TC.Liệu có phải xét cả 3 đường TC không thầy? (cả bài 35 cũng thế)

  15. thay lau tra loi the

  16. Thầy ơi,thầy cho em hỏi bài này ạ.
    Tìm GTNN,GTLN của biểu thức A= x^3 + y^3 +x^3 -3xyz.
    Biết x^2 +y^2+z^2=2.

  17. Gần nửa năm, nay Thầy mới vào lại Blog ( Vì bận quá) để Post mấy đề luyện thi ĐH cho các em học sinh tham khảo!
    Nếu em chưa làm đc thì Thầy hướng dẫn như sau:
    \begin{array}{l}  P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - zx) \\    = (x + y + z)\left[ {{{(x + y + z)}^2} - 3(xy + yz + zx)} \right] \\   \end{array}
    Đặt t = x+y+z
    \Rightarrow {t^2} = 2 + 2(xy + yz + zx) \Leftrightarrow xy + yz + zx = \frac{{{t^2} - 2}}{2}
    Và dễ có: {t^2} \le 3({x^2} + {y^2} + {z^2})(Bunhiacopxki)\,\,\, \Leftrightarrow \left| t \right| \le \sqrt 6
    Suy ra P = f(t) = t\left( {{t^2} - 3\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right),\,\,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 6 ,\sqrt 6 } \right]
    Dùng Đạo hàm !!! Done!

  18. Em chào thầy!
    Thầy co thể hướng dẫn giùp em bài về giới hạn này không ạ!
    lim x.[(x^2+1)^1/2-(x^3+1)^1/3]
    x->vô cùng
    và lim (cos(pi/2.cos x))/sin (sin x)
    x->0
    Em cảm ơn thầy và chúc thầy sức khoẻ!

  19. Trang của ông hay quá nhỉ !
    Ông làm trang này bao lâu rồi? Tôi bây giờ mà muốn làm 1 trang như của ông thì bao lâu mới có nội dung tạm tạm xem được nhỉ?
    Chúc ông luôn khoẻ và kiếm được nhiều tiền!

    • Hi Anh Lựu. Làm cũng đơn giản thôi mà. Một chút ý tưởng, sáng tạo, thời gian là được. Nói thế nhưng lâu nay tôi cũng có thời gian vào đâu. Hè rãnh rỗi một chút mới vào lại !!!
      Chúc Ông sớm lên lãnh đạo để cả họ được nhờ!!!

  20. Thưa thầy cho em hỏi :
    Tìm GTNN :

    y = sin (-2.pi.x/ 1+4x^2) + cos (4.pi.x/3+12x^2) +2sin (2pi.x/3+12x^2)

    • Bài này giải như sau:
      Đặt t = \frac{{2\pi x}}{{3 + 12{x^2}}} ,
      ta có t = 3 + 12{x^2} = 3\left[ {1 + {{(\left| {2x} \right|)}^2}} \right] \ge 6\left| {2x} \right| = \left| {12x} \right|
      \Rightarrow \left| {\frac{{2x}}{{3 + 12{x^2}}}} \right| \le \frac{1}{6} \Rightarrow \left| t \right| \le \frac{\pi }{6}
      Khi đó y = \sin ( - 3t) + \cos 2t + 2\sin t
      =  - (3\sin t - 4{\sin ^3}t) + (1 - 2{\sin ^2}t) + 2\sin t
      = 4{\sin ^3}t - \sin t - 2{\sin ^2}t + 1
      Đặt u = sint, suy ra u \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right],\,\,\,\forall t \in \left[ { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right]
      Xét hàm số f(u) = 4{u^3} - 2{u^2} - u + 1,\,\,\,\,u \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]
      Lấy Đạo Hàm…Done!!!

  21. tinh dum minh zoi:

    Lim ((a^x+b^x)/2)^1/x voi a, b >0 vaf x —>vo cung

    cam on nhieu ah

  22. 3*cosx +4*sinx +6/(3*cosx + 4*sinx+1)=6

    • Đặt t = 3cosx + 4sinx +1
      Ta có PT: t + 6/t =7
      PT có hai nghiệm: t =1, t =6
      Ta được hai PT quen thuộc: (1): 3cosx + 4sinx = 0 hay tanx = =(-3)/4
      (2): 3cosx + 4sinx = 5 ( tự giải)

  23. thầy giúp em giải bài toán :
    giả sử a, b là các số nguyên dương sao cho (a+1)/b +(b+1)/a là một số nguyên.
    Gọi d là ước số chung của a,b .chứng minh rằng : d< hoặc bằng căn (a+b).

    • Ta có: A= \frac{{a + 1}}{b} + \frac{{b + 1}}{a} = \frac{{{a^2} + {b^2} + a + b}}{{ab}}
      Gọi d = (a,b), suy ra a = a’d, b= b’d (a’>0, b’>0)
      Suy ra A = \frac{{d\left( {a{'^2} + b{'^2}} \right) + a' + b'}}{{da'b'}}. Vì A nguyên nên a’ + b’ chia hết cho d
      Suy ra (a’+b’) = d.k ( k nguyên dương)
      Vậy ta có a + b = d( a’+b’) = d2 k \ge d2
      Hay \sqrt {a + b}  \ge d. Done!

  24. Thầy ơi cho em hỏi ? Em có bài toán này nhưng e k biết cách giả làm sao thầy có thể giúp em k ạ /
    Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi vecto AB = vecto DC

    • Đơn giản mà em. vecto AB = vecto DC, suy ra hai vecto đó cùng hướng và cùng độ dài, dẫn đến AB//CD, AB=CD, kết hợp với hướng vecto theo thứ tự của điểm suy ra ABCD là hbh.!

  25. Thưa thầy. Em là học sinh ở Đà Nẵng. Thầy cho em hỏi bài hình không gian này.
    Cho tứ diện ABCD có DA = a, DB + DC = m ( m > 2a ). Góc BAC = 90 độ. Góc CDB = CDA = ADB = 60 độ. Tính thể tích tứ diện ABCD theo a và m.
    Em cảm ơn thầy.

  26. Lời giải Câu V( dự bị 1- KB 2010) Thầy giải thế này( chắc chưa phải cách ngắn nhất)
    ĐK: \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} - {z^2} \ge 0,{y^2} + {z^2} - {x^2} \ge 0,{z^2} + {x^2} - {y^2} \ge 0\\ xy \ge 0,yz \ge 0,zx \ge 0 \end{array} \right.
    + Nếu một trong 3 số x, y, z bằng 0, chẳng hạn x = 0 thi từ ĐK suy ra: {y^2} = {z^2}
    Từ phương trình đầu của hệ suy ra được \sqrt {{y^2} + {z^2}}  = y + z \Rightarrow yz = 0 \Rightarrow y = z = 0
    (không t/m)
    + Suy ra xyz \ne 0 \Rightarrow xy > 0,yz > 0,zx > 0, suy ra x, y, z cùng âm hoặc cùng dương.
    Từ PT đầu của hệ suy ra: x > 0,y > 0,z > 0
    Ta có {x^2} + {y^2} \ge {z^2} \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge {z^2} + 2xy > {z^2} \Rightarrow x + y > z
    Tương tự: y + z > x,z + x > y
    Suy ra x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác . Giả sử tam giác ABC có BC =x, CA=y, AB = z.
    Áp dụng ĐL cosin:
    \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + {y^2} - {z^2}}  + \sqrt {{y^2} + {z^2} - {x^2}}  + \sqrt {{z^2} + {x^2} - {y^2}} \\  = \sqrt {2xy\cos C}  + \sqrt {2yz\cos A}  + \sqrt {2zx\cos B} \\  \le \sqrt {(2xy + 2yz + 2zx)(\cos A + \cos B + \cos C)} \\  \le \sqrt {\frac{2}{3}{{(x + y + z)}^2}.\frac{3}{2}}  = x + y + z \end{array}
    (Theo BĐT Bunhiacopxki, 2xy + 2yz + 2zx \le \frac{2}{3}{(x + y + z)^2};\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2})
    Dấu bằng có khi x =y = z. Thế vào PT thứ hai của hệ. Done!!!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: